Eliminación Gaussiana

La eliminación gaussiana de un sistema de m ecuaciones y n incógnitas es una metodología que permite determinar si existe un grupo de valores X₂,X_{2,...X_n1} que sean solución de un sistema de ecuaciones. Como ya se ha mencionado, al sistema de m ecuaciones con n incógnitas se le representa de la siguiente manera:

Donde 1, 2, 3,...m son las ecuaciones y x₂,x₂,...x_n son las variables independientes de las ecuaciones.

Método Gauss-Jordan

El método de eliminación Gauss-Jordan consiste en representar el sistema de ecuaciones por medio de una matriz y obtener a partir de ella lo que se define como la matriz escalonada equivalente, a través de la cual se determina el tipo de solución de la ecuación.

Un tipo de matriz escalonada (también conocida como matriz de identidad, donde la diagonal principal tiene solamente uno y, en el resto de las posiciones, cero) se representa de la siguiente forma:

El procedimiento de escalonamiento de la matriz se realiza mediante la aplicación de tres operaciones permitidas por el método:

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Nota: No es válido multiplicar o sumar entre columnas.

Ejemplo de sistema de ecuaciones con tres incógnitas

No obstante lo anterior, en la mayoría de los casos es factible calcular el tiempo de ejecución de un algoritmo, de modo que se puede seleccionar el algoritmo con mejor rendimiento para un problema específico.

Paso 1.

Para desarrollar el método y obtener la matriz escalonada, el procedimiento considera la selección de un pivote. Este elemento se escoge de tal forma que, mediante la aplicación de las operaciones permitidas, se eliminan los elementos debajo de él para generar la matriz escalonada. En este caso, se intercambian los renglones 1 y 2 de la matriz; posteriormente, se selecciona del primer renglón el valor 2 correspondiente a la variable del sistema de ecuaciones original, lo cual se ilustra a continuación:

Paso 2.

Una vez escogido el pivote, se eliminará el término 5 del tercer renglón; esto se logra al multiplicar el primer renglón por (-5/2) y sumarlo posteriormente con el tercero:

Paso 3.

Una vez que se hizo cero a los elementos bajo el pivote inicial (2), se toma como nuevo pivote el valor 1 de la izquierda en el segundo renglón, se multiplica el renglón 2 por (½) y se suma con el renglón 3.

Después de realizar las operaciones permitidas por el método de Gauss, el tercer renglón ha quedado de acuerdo con los coeficientes que se observan en el tercer renglón de la matriz:

0x1 + 0x₂ + 0x₃ = 5/2 o 0 = 5/2,

sde luego, esta ecuación nunca es verdadera; por ello se concluye que el sistema original es incompatible, es decir, no tiene solución.

Ejemplo de aplicación del método Gauss-Jordan a partir de la representación de la matriz aumentada

Es importante indicar que el proceso de escalonamiento sobre la matriz aumentada sólo se realiza al considerar la parte correspondiente a la matriz de coeficientes, esto es, el escalonamiento no se lleva a cabo sobre el vector independiente, aunque éste sí se ve afectado por todas las operaciones realizadas por el método de Gauss-Jordan.

Este método es un procedimiento que simplifica y acelera notoriamente la obtención de la solución de un sistema de ecuaciones y es también un método que facilita el desarrollo de algoritmos por computadora; por ello, es de amplio uso en la práctica profesional.

Básicas

Bibliografía

Kolman, B. y Hill, D. R. (2006). Algebra lineal (8.ª ed.). México: Pearson.

Poole, D. (2004). Algebra lineal: Una introducción moderna. México: Thomson.

Documentos electrónicos

De la Rosa, A., Luna, J., Rivera, S., Rodríguez, A. y Sánchez, G. (2017). Eliminación Gaussiana y Gauss-Jordan. En Matemáticas I (Álgebra Lineal). Licenciatura en Contaduría [CD-ROM]. México: UNAM.

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